2014.10.22 數學機經分享#341 (未完)

A sum of $200,000 from a certain estate was divided among a spouse and three
children. How much did the youngest child receive?

(1) The spouse received 1/2 of the sum from the estate, and the oldest child
received 1/4 of the reminder

(2) Each of the two younger children received 12,500 more than the oldest
child and 62500 less than the spouse

[解]假設母親拿A，三個孩子(由大到小)分別拿B, C, D，
       可以得到 A + B + C + D = 200,000。題幹欲判斷D值是否能求出。

(1)A=200,000*(1/2)=100,000，
　  B=100,000*(1/4)=25,000，
     以上代入原式，
     得到 100,000 + 25,000 + C + D = 200,000，
　 無法解出 C 與 D，
　 條件不充分;

(2)由條件可知，C = D = A - 62,500 = B + 12,500，
     將四人都以C表示，
　 得到： A + B + C + D = ( C + 62,500 ) + ( C - 12,500 ) + C + C = 200,000，
     C可以求出，D也可以求出。
　 條件充分;

選B。

2014.10.20 數學機經分享#328 (未完)

328. mixture of nuts, 有兩樣，C 和 Peanuts. first mixture 是 3/4 weight of peanuts,
second mixture 是 C 一樣，peanuts 少 8 pound，是 7/10 weight of peanuts,
問 first mixture 多重？

[解]
由題意可知，second mixture 在 C 重量不變的情況之下，peanuts 部分少了8磅，
相當於少掉 peanuts 總重的3/4-7/10=1/20，

假設 peanuts 總重為 P 磅，first mixture 中裡面包含的 peanuts 重量有 p 磅，C 重量有 c 磅

first mixture = c + p = (3/4)P

second mixture = c + (p-8) = (7/10)P

上式減下式得到(1/20)P=8，P=160(磅)

故 first mixture 重量為160*(3/4)=120(磅)。

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2014.10.20 本月數學機經分享#328

原文發表於PTT GMAT版

最近是本月考試的高峰期，
今天接到同學來信提問坊間詳解內容不全的題目，
建議請使用以下概念解題，
在此呼籲同學切莫依賴機經，背誦答案，
一切回歸到基本觀念求解，
本題解答部分也歡迎同業收錄，以造福更多同學。

328. mixture of nuts, 有兩樣，C 和 Peanuts.

        first mixture 是 3/4 weight of peanuts,

        second mixture 是 C 一樣，peanuts 少 8 pound，是 7/10 weight of peanuts,

        問 first mixture 多重？

[解]
由題意可知，second mixture 在 C 重量不變的情況之下，peanuts 部分少了8磅，
相當於少掉 peanuts 總重的3/4-7/10=1/20，
假設 peanuts 總重為P磅，first mixture 中裡面包含的 peanuts 重量有p磅，C重量有c磅，
first mixture = c + p = (3/4)P
second mixture = c + (p-8)= (7/10)P
上式減下式，得到 (1/20)P=8，P=160(磅)
故 first mixture 重量為160*(3/4)=120(磅)。

2014.10.17 本月數學機經分享#160

原文發表於PTT GMAT版

最近有些同學針對坊間機經疑似不全的題目做提問，
而這個題目可以使用基本觀念解題，
建議同學使用基本觀念解題。

160.三個連續整數x, y, z，說了x<y<z，問(z^2)-(y^2)-(x^2)不可能是以下哪個?

選項有-12, -6, 0, 3, 4。

[解]因為x,y,z為三個連續整數，故y=x+1, z=x+2，
      代入原求值式得到：(x+2)^2-(x+1)^2-(x^2)=-x^2+2x+3，
      再令原求值式等於每一選項逐一判斷是否有x的解。

(A)-x^2+2x+3=-12，x=5或-3
(B)-x^2+2x+3=-6，沒有x的解----------正確答案
(C)-x^2+2x+3=0，x=3或-1
(D)-x^2+2x+3=3，x=2或0
(E)-x^2+2x+3=4，x=1

實戰上判斷到(B)選項就能選擇答案！

另外，本題可以藉由代數字求解，
當然每道題目不只一套解法且可以寫出一套俐落的事後解法，
而這僅以結果論反推，看起來似乎比較快？！

實際上呢？
站在同學們的角度來思考，可能會存在著一些疑問，
"考試的時候，我要如何一個箭步就想到老師舉的例子？"
"考試的時候，為什麼我想不到老師舉的例子？"
"代數字有一套的準則嗎？"
"DS題某條件如果舉出三個例子都使得判斷句成立，我們應該視為條件充分嗎？"等等，

大家請注意考試不要求快，
沒有必要去擔心究竟什麼題型要代數字？或是要代什麼數字？第一個要代什麼數字？
招式快但不一定穩，在穩健的基礎上之多加熟練，分數十拿九穩，
請同學們不要被基本運算嚇到了，
出現似乎可代數字或不代數字的題目，
去了解題目的出題思路套用對應的基本觀念才是解決問題的方法，
代數字如果第一個例子代得不好，反而會導致求解時間延長。

如果同學認為基本功演練需耗費許多時間，影響verbal準備，
請聯絡A2GMAT數學顧問KH來班諮詢輔導，
KH以多年教學經驗幫助同學快速建立基本概念，
大家一起讓戰力變得更強！

KH解題：[問題] OG13的數學

原文發表於PTT GMAT版

※ 引述《JHWM (^_____<)》之銘言：
: 我一開始寫前面發現好像滿簡單的
: 很多不會是單字卡住
: 看PTT說題目是越來越難
: 我就從兩百多題往前寫
: 也寫三四十題
: 錯個一兩題(不會寫OR單字看不懂，看懂後就會寫)
: 請問是OG跟實戰的差異有很大嗎?

OG平均難度以過去學生的經驗反應，較實戰簡單，
當然單一題目難或不難，
因為每個同學程度不一，很難有個定論
但重點在於如何有效管理"錯誤"的題目，
才能幫助程度與實力有效提升。

建議同學在做第一輪OG的時候可以針對題目使用"顏色管理"，
請準備紅黃綠三種顏色的螢光筆，在題號做個標記：
綠色---簡單題
黃色---可以求解但耗時
紅色---難題

做完第一輪並檢討完畢之後再針對紅色題目進行演練，
黃色的題目可以尋求老師的協助，
你可以寫出你的解法，讓老師判讀哪個環節點需要打通關，
當然，紅色題目要定期的演練，不用求出解，只要能寫出算式即可
因為當下"會了"，並不代表十天、兩個星期之後還是會，
掌握正確的讀書方法與配合精良教材可以幫助你事半功倍。

KH解題：問一題GWD

原文發表於PTT GMAT版

※ 引述《macbook0713 (apple)》之銘言：
: 請問一下，這一題要怎麼理解呢？
: 謝謝
: If the units digit of the three-digit positive integer k is nonzero, what is
: the tens digit of k?
: (1) The tens digit of k + 9 is 3.
: (2) The tens digit of k + 4 is 2.

假設k的末兩位數字為a,且a的個位數字不為0

(1)a+9的末位數字為3,則30 <= a+9 <= 39，21 <= a <= 30
    但因為a的個位數字不為0,a不等於30,所以21 <= a <= 29,
    a的十位數字為2,即k的十位數字為2,
    條件充分;

(2)a+4的末位數字為2,則20 <= a+4 <=29，16 <= a <=25
    a的十位數字可能為1或2,即k的十位數字可能為1或2,
    條件不充分;

選A。

2014.10.04 本月數學機經分享#109

原文發表於PTT GMAT版

各位同學好！

很高興在九月份看到共有11位同學數學考取滿分，在此希望大家能再接再厲，共同創造本月滿分人數新高紀錄，當然，想要拿到漂亮的總分，衝高數學分數絕對是充分條件，KH也不吝惜分享這個月數學機經重要考題觀念，有看有保庇喔！

109.A機器的工作效率是B機器的兩倍，A能在x小時內完成某工作，
       問A與B同時工作能在多少時間內完成？

[解]
定義"整個工作"分量為1。
A的單位時間工作能力為1/x(亦即，一小時可以完成整個工作的比例為1/x)
B的單位時間工作能力為1/2x，
A與B合力工作的單位時間工作能力為[(1/x)+(1/2x)]=3/2x，
假設兩機器合力工作需花費y小時完成整個工作，
則可列式：y*(3/2x)=1，解得y=(2/3)x，單位為小時。

考前數學如何準備

原文發表於PTT GMAT版

最近幾天正逢本月考試高峰期，
有不少同學提出考前數學如何準備的問題，
這裡KH提供同學們幾個的建議:

1.演算機經並且配合PP原文題目一起演練：
   機經是中文化的題目，藉由演算機經只能夠幫助縮短部分的實戰反應時間，
   考前若只演算機經將會導致原文讀題的語感流失

2.OG,PP,機經等學習資源如都計算過一輪，只要針對曾經錯誤的題目
   (相信同學們都會標上記號)不斷反覆演練即可

3.有問題請馬上解決，不要拖延，不放棄解決問題

KH在A2GMAT提供考前數學諮詢的服務，
最近考試的同學如有問題無法得到解決，
歡迎來班與KH諮詢！

KH以多年數學教學與實戰多次滿分經驗，
針對不同程度的同學給予適當的協助，
幫助同學考試考取理想的分數！
祝福本月考試的同學考試順利！

2014.09.12 本月數學機經分享#84(V2)

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84.S,R,T是3個不同的正整數，求三個數的倒數的median?

1) r+s+t=6
2) rs=2

[解]
(1)三數為1, 2, 3，倒數分別為1,1/2, 1/3，中位數為1/2，條件充分；

(2)r與s兩數當中一數為1，另一數為2，但第三個數t只可為2以上的正整數(題幹條件)，
    此時t的倒數必小於1/2，故三數倒數的中位數為1/2，條件充分；

選D。

2014.09.10 本月數學機經分享#186

原文發表於PTT GMAT版

186.(代數)有一條線L和不在它上面的一個點P，題目定義了什麼是叫這個點關於這條直線的相對點，
       比如叫它 Q：就是PQ垂直於直線Ｌ，且Ｌ平分了 PQ線段？當這條線是y=x時，問(-1, -2)的點的相對點是什麼？

[解]此處的相對點即為"對稱點"。
      找尋相對於y=x對稱的對稱點，將x以y置換，y以x置換即可求解，答案為(-2, -1)。

[補充]如果題幹敘述改為(-1, -2)對直線x+y=0的對稱點。
          將直線方程式移項得到 y=-x (或x=-y)，
          即對稱點的x座標即為原y坐標加負號，對稱點的y座標即為原x坐標加負號，
          得到對稱點座標為(2, 1)。

2014.09.05 本月數學機經分享#155

原文發表於PTT GMAT版

155.貌似是(x, y)這樣的組合，x, y範圍都是在[-10,9]的整數。

       然後x<y,問有幾種情況的(x, y)?

[解]y比x大，先決定y的範圍。
     當y=-9時，則x=-10(一種)；
     當y=-8時，則x=-10, -9(兩種)；以此類推，
     當y=9時，則x=-10, -9,…,8(十九種)，

故總共有1+2+3+…+19=[(1+19)*19]/2=190(種)。

2014.09.03 本月數學機經分享#60

原文發表於PTT GMAT版

60.(算數)有a, b, r, s四個正整數，a^r=b^s, 問a是否是b的factor?

1) r=2s
2) r=6-s

[解]
(1)a^(2s)=〖(a^2)〗^s=b^s，得到b=a^2，a是b的因數，條件充分；

(2) a^(6-s)=b^s無法確定a是否為b的因數。
    舉例，當s=1時，a是b的因數；
    舉例，當s=5時，a不為b的因數，條件不充分；

選A。

2014.09.01 本月數學機經分享#46

原文發表於PTT GMAT版

Math JJ Sep.#46

(算數)p,q,r,s四個數都是positive integers。√(p^r*q^s )是否為整數?

1) p=q
2) r=s

[解]
(1)將p=q代入判斷式，得到√(p^r*p^s )=p^((r+s)/2)，
    但因無法確定r+s是否為2的倍數，或p是否為完全平方數，條件不充分；

(2)將s以r代入判斷式，得到√(p^r*q^r )=p^(r/2)*q^(r/2)，
    但因無法確定r是否為2的倍數，或p,q兩數是否同為完全平方數，條件不充分；

(1)+(2)√(p^r*p^r )=p^r，數值為整數，條件充分；

選C。

2014.08.29 本月數學機經分享#4

原文發表於PTT GMAT版

在此與同學分享本月機經考題

4.有六個positive integer，如何證明六個的sum是odd(or even)?
   其中一個條件是最大的四個sum是偶數，最小的兩個product是偶數。

[注意]

考生只提供一個條件，另一條件待補充。

[觀念]
偶數+偶數=偶數；偶數+奇數=奇數。兩整數乘積為偶數，至少一數為偶數。

[解]
考生提供已知條件：最小兩數的乘積為偶數，表示最小兩數可能為一奇數一偶數或兩偶數，其和亦可能為偶數或奇數。
但因為較大之四數和為偶數，故六數總和可能為偶數或奇數，條件不充分；

GWD 24-26 解法分享

原文發表於PTT GMAT版

在此與各位同學分享一個GWD題目(GWD 24-26)

Does the decimal equivalent of p/q , where p and q are positive integers,
contain only a finite number of nonzero digits?

(1) p > q
(2) q = 8

----------------------------------------------------------------------------

[讀題]

"a finite number of nonzero digits"表示 p/q 可化為有限小數，
相關詞彙如terminating decimal。

[解題觀念]

最簡分數的分母其質因數僅有2或5時，該分數可以化為有限小數(即有理數)，
只要題幹涉及有限小數，請第一時間直覺連結 ===> "分母的質因數為2或5"。

(1)無法得知q的質因數是否僅有2或5，條件不充分；

(2)分母q=8=2^3，分數 p/q 必為有限小數(分子數值不影響結果)，條件充分；

答案選B。

關於絕對值的一些觀念分享

原文發表於PTT GMAT版

絕對值代表兩點之間的距離，因為距離沒有負數，故絕對值開出後也沒有負數：
|x-y|代表x與y之間的距離；|x|即為|x-0|，代表數線上x與0的距離。
由上可以看出，絕對值內如涉及"兩數相減"，即表示著數線上那兩數的距離。

因此，本月數學機經第150題條件(1)：|x-z|=|x-y|+|y-z|，
就可以解讀為"x到z的距離"等於"x到y的距離"加上"y到z的距離"，
所以在數線上三數相對位置的關係就可能是x---y---z或者z---y---x。

如果題目是絕對值方程式或代數式化簡，我們應該要對絕對值內的數之正負感到興趣，
這部分可以幫助我們進行"去絕對值"的動作。如果x>0，則|x|=x，直接去絕對值不會影響答案；
如果x<0，則|x|=-x，在負數x之前強迫掛上一個負號形成正數，這裡需注意"-x"代表一個正數而非負數。
一旦我們可以確認絕對值內的(未知)數之正負，就可以採取對應方式進行去絕對值。

代數當中提及的絕對值不等式：|x|+|y|>=|x+y|:
當等號成立的時候，|x|+|y|=|x+y|，我們可以解讀為x與y兩數同為正或同為負；
當大於成立的時候，|x|+|y|>|x+y|，我們可以解讀為x與y兩數一數為正，另一數為負，
因為不等式的右式會產生正負數抵銷的效果。

2014.08.23 本月數學機經分享

原文發表於PTT GMAT版

在此分享一題本月考生回報截至8/23 0時機經尚未出現的考題：

(DS)一個25個數的數列，試求全距？(25是舉例的數)

1) 此數列是連續奇數
2) 此數列最大數的69(69是舉例的數)

[解]求全距必須得知數列的最小值與最大值的差距(或直接求得最大值與最小值)。

(1)條件是一個公差為2且項數為25的等差數列，
    首項(基準項)與第25項(目標項)相差24(=25-1)個公差，
    故最大值與最小值相差24*2=48，條件充分；

(2)數列規則未知，無法求出數列最小值，條件不充分；

選A。

2014.07.09 本月數學機經分享#76

原文發表於PTT GMAT版

在此與各位同學分享本月機經第76題。

76.(DS)r, s, t均為正整數，貌似問能否知道r*s*t？

(1) (r^3)*s*t=728
(2) s=13

[解]
(1)舉例，r=2, s=7, t=13，或者r=1, s=2, t=364，兩例子的r*s*t之值不相同，條件不充分；

(2)r與t的數值未知，無法求得三數之積，條件不充分；

(1)+(2)舉例，r=1, s=13, t=56，或者r=2, s=7, t=13，條件不充分；

選E。

本題有兩題變體。

2014.07.04 本月數學機經分享#56

原文發表於PTT GMAT版

各位同學 大家好：

56.(DS)試問n(n+1)(n+2)/12是否為整數？
     (貌似有個條件是n大於10，具體數字忘了，反正能保證分子的乘積大於12)

1) n為偶數
2) n為奇數

[概念]
n, n+1, n+2為三個連續整數，可為'偶,奇,偶'或是'奇,偶,奇',故n與n+2同號，
n+1與其他兩數異號。且三個連續整數必有一數為3的倍數。

[解]
(1)n與n+2為皆為偶數(2的倍數)，且三數必有一數為3的倍數。
    故三數乘積必為12的倍數，除以12可以得到整數，條件充分；

(2)n與n+2為皆為奇數，n+1為偶數(2的倍數)，且三數必有一數為3的倍數，
    所以只能確定三數乘積必為6的倍數，但無法確定三數乘積是否為12的倍數，
    條件不充分；

選A。

各位朋友們，KH希望可以拋磚引玉，讓更多的朋友了解數學的詳細解題步驟，
唯有按部就班，並且深刻瞭解數學觀念，才能學習解決問題的能力，所以KH寫數學詳解都會按照這樣的方式，
另外建議大家算數學要用理解的方式，不要用背的，
畢竟GMAT考試是智力測驗，大家要多學習思考動腦袋，祝大家考試順利！

本期數學機經亮點：連續型機率

原文發表於PTT GMAT版

本月數學機經在機率部分出現了"連續型機率"的內容，
這是以往機經極少出現過的範圍，先前機率的題目皆為典型的"離散型機率"，
在這邊補充一下「離散變數」與「連續變數」的觀念。

離散變數在考試當中指的是以整數單位計算的數，
例如骰子出現的點數或是機器台數等等。比1大的數，就是2、3、4...等等正整數。
如果某一個數字集合A={1,2,3}，樣本空間有三個元素，
隨機取一數，取出2的機率顯然為1/3。
機率的分子與分母分別為有興趣事件的方法數與全部事件的方法數，皆為整數。

連續變數是在一個數線區間中可以任意取值，數值是連續不斷的，
相鄰的兩數可以做無限分割，可以取得無限多個值，
比1大的數，可能為1.1或1.09或1.0912...等等。
像是面積值與長度就是一種連續型變數。
而在一個1到3之間的線段上有無限多個實數點，
所以我們無法求出在1到3之間任取一實數，該實數為2的機率，
一來會使得分母為無限大（不存在），以致違反分數的定義。

想像一下有個像是日本國旗樣式的標靶，整個國旗（長方形）面積為100，
中間紅色圓形（靶心）部分面積為25，假設某人打靶射擊，
而且子彈打在國旗上各點（在此國旗可視為有無限多個點）的機率相等，
所以射擊一發命中靶心的機率即為0.25，分母為全部區域面積，
分子為答題者有興趣區域的面積。

答題時需注意題幹敘述，變數定義為positive integer（離散）或real number（連續），
將會影響解題方向。

結論：
離散型---樣本點可數(整數)，找方法數求算機率。
連續型---樣本點不可數(某一實數範圍)，以區域面積求算機率